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🌫 18 Setembro 2023 - #MFES

Ficha 1

Note

As resoluções dos exercícios aqui contidos podem conter erros. Se detetares um problema (e se o souberes resolver) por favor contacta-nos.

[!help]+ Ex 1 (Configuração de produtos) Certos produtos, como é o caso dos automóveis, são altamente personalizáveis, mas podem haver dependências entre as configurações. Os clientes podem não estar cientes de todas essas dependências, e poderão escolher opções de configuração inconsistentes. Como são muitas configurações e muitas dependências, podemos usar um SAT solver para verificar se o cliente escolhe opções de configuração consistentes. Para isso, podemos seguir os seguintes passos:

1. Codificar as dependências entre configurações como uma formula proposicional \psi
2. Codificar as opções selecionadas pelo cliente como uma fórmula proposicional \phi.
3. Usar o SAT solver para verificar se \psi \land \phi não é contraditório.

Considere agora a seguinte dependência entre as configurações disponíveis para a personalização de um automóvel:

"O ar condicionado Thermotronic comfort requer uma bateria de alta capacidade, exceto quando combinado com motores a gasolina de 3,2 litros."

Será que um cliente pode escolher o ar condicionado Thermotronic comfort, uma bateria de pequena capacidade e não escolher o motor de 3,2 litros? Como poderia responder a esta pergunta com a ajuda de um SAT solver?

[!tip]- Resolução Legenda de variáveis utilizadas: A - ar condicionado B - bateria alta capacidade C - motor 3,2 L

A \land \neg B \implies G \equiv \neg (A \land \neg B) \lor G \equiv \neg A \lor B \lor G

(\neg A \lor B \lor G) \land A \land \neg B \land \neg G ----- SAT?

[!help]+ Ex 3 (Configuração de computadores) Uma loja de eletrónica permite aos seus clientes personalizar o seu computador, escolhendo entre dois modelos de motherboards e dois modelos de monitor. Cada computador tem que ter obrigatoriamente uma única motherboard, um único CPU, uma única placa gráfica e uma única memória RAM. O computador poderá ou não ter um monitor. A personalização do computador deverá obedecer às regras:

1. A motherboard MB1 quando combinada com a placa gráfica PG1, obriga à utilização da RAM1;
2. A placa gráfica PG1 precisa do CPU1, exceto quando combinada com a memória RAM2;
3. O CPU2 só pode estar instalado na motherboard MB2;
4. O monitor MON1 para poder funcionar precisa da placa gráfca PG1 e da memória RAM2.

Codifique este problema em lógica proposicional. Assinale claramente o que denota cada variável proposicional que introduzir e escreva um conjunto de fórmulas proposicionais adequado à sua modelação.

[!hint]- Resolução Legenda de variáveis utilizadas: CPU_1; CPU_2; RAM_1; RAM_2; MB_1; MB_2; PG_1; PG_2; MON_1; MON_2

Problema modelado:

1. CPU_1 \lor CPU_2

2. CPU_1 \implies \neg CPU_2

3. RAM_1 \lor RAM_2

4. RAM_1 \implies \neg RAM_2

5. MB_1 \lor MB_2

6. MB_1 \implies \neg MB_2

7. PG_1 \lor PG_2

8. PG_1 \implies \neg PG_2

9. MB_1 \land PG_1 \implies RAM_1

10. PG_1 \implies CPU_1 \lor RAM_2 \equiv PG_1 \land \neg RAM_2 \implies CPU_1

11. CPU_2 \implies MB_2

12. MON_1 \implies PG_1 \land RAM_2

Indique, apenas por palavras, como poderia usar um SAT solver para testar as consistências deste conjunto de regras.

Indique, apenas por palavras, como usaria um SAT solver para se pronuncias quanto à velocidade das seguintes afirmações: (a) O monitor MON1 só poderá ser usado com uma motherboard MB1.

[!hint]- Resolução ??? $T \models MON_1 \implies MB_1$ T, \neg (MON_1 \implies MB_1) UNSAT

[!info] T \models F sse T, \neg F UNSAT

(b) Um cliente pode personalizar o seu computador da seguinte forma: uma motherboard MB2, o CPU1, a placa gráfica PG2 e a memória RAM1.

[!hint]- Resolução T, MB_2 \land CPU_1 \land PG_2 \land RAM_1 ---- SAT?

[!help]+ Ex 2 (Distribuição de Gabinetes) Considere que temos 3 gabinetes e queremos distribuir 4 pessoas (Ana=1, Nuno=2, Pedro=3 e Maria=4) por esses gabinetes. Para codificar este problema em lógica proposicional, , vamos ter um conjunto de variáveis proposicionais x_{p,g} com a seguinte semântica: x_{p,g} é verdade sse a pessoa p ocupa o gabinete g, com p=1..4 e g=1..3

Considere que forem estipuladas as seguintes regras de ocupação de gabinetes:

1. Cada pessoa ocupa um único gabinete.
2. O Nuno e o Pedro não podem partilhar gabinete.
3. Se a Ana ficar sozinha num gabinete, então o Pedro também terá que ficar sozinho num gabinete.
4. Cada gabinete só pode acomodar, no máximo, 2 pessoas.

Escreve um conjunto de fórumlas proposicionais adequado à modelação destas regras.

[!tip]- Resolução (por passos) Cada pessoa ocupa só um único gabinete.

1. para cada pessoa p = 1..4
2. pelo menos um gabinete: x_{p1} \lor x_{p2} \lor x_{p3}
3. no máximo 1 gabinete: x_{p1} \implies \neg x_{p2} \land x_{p3} \equiv x_{p1} \implies \neg (x_{p2} \lor x_{p3} ) \equiv x_{p2} \implies \neg x_{p3}