Pretende-se representar a mesma informação sob a forma de uma árvore de expressão,
usando para isso a biblioteca \Exp\ que consta do material padagógico da disciplina e
que vai incluída no zip do projecto, por ser mais conveniente para os alunos.
\begin{enumerate}
\item Comece por definir a função de conversão do texto dado em |acm_ccs|
(uma lista de \emph{strings}) para uma tal árvore como um anamorfismo de \Exp:
%
\begin{code}
tax :: [String] -> Exp String String
tax = anaExp gene
\end{code}
Ou seja, defina o |gene| do anamorfismo,
tendo em conta o seguinte diagrama\footnote{|S| abrevia |String|.}:
\begin{eqnarray*}
\xymatrix{
|Exp S S| & & S + S \times (|Exp S S|)^*\ar[ll]_{|inExp|} \\
S^*\ar@@/_1.5pc/[rr]_{|gene|}\ar[r]^(0.35){|out|}\ar[u]^{|tax|} & S + S \times S^*\ar[r]^(0.45){\cdots} & S + S \times (S^*)^*\ar[u]_{id + id \times tax^*}
}
\end{eqnarray*}
Para isso, tome em atenção que cada nível da hierarquia é, em |acm_ccs|,
marcado pela indentação de 4 espaços adicionais --- como se mostra no fragmento acima.
Na figura \ref{fig:P1} mostra-se a representação gráfica da árvore de tipo \Exp\ que representa o fragmento de |acm_ccs| mostrado acima.
\caption{Fragmento de |acm_ccs| representado sob a forma de uma árvore do tipo \Exp.}
\label{fig:P1}
\end{figure}
\item De seguida vamos querer todos os caminhos da árvore que é gerada por |tax|,
pois a classificação de uma UC pode ser feita a qualquer nível (isto é, caminho
descendente da raiz |"CCS"| até um subnível ou folha).
\footnote{Para um exemplo de classificação de UC concreto, pf.\ ver a secção \textbf{Classificação ACM} na página
pública de \CP.}
Precisamos pois da composição de |tax| com uma função de pós-processamento |post|,
%
\begin{spec}
tudo :: [String] -> [[String]]
tudo = post . tax
\end{spec}
para obter o efeito que se mostra na tabela \ref{table:acmccs}.
\begin{table}[ht!]
\centering\small
\begin{center}
\begin{tabular}{||l||l||l||l||}
\hline
CCS & & &
\\\hline
CCS & General and reference & &
\\\hline
CCS & General and reference & Document types &
\\\hline
CCS & General and reference & Document types & Surveys and overviews
\\\hline
CCS & General and reference & Document types & Reference works
\\\hline
CCS & General and reference & Document types & General conference proceedings
\\\hline
CCS & General and reference & Document types & Biographies
\\\hline
CCS & General and reference & Document types & General literature
\\\hline
CCS & General and reference & Cross-computing tools and techniques &
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Taxonomia ACM fechada por prefixos (10 primeiros ítens).}
\label{table:acmccs}
\end{table}
Defina a função |post :: Exp String String -> [[String]]| da forma mais económica que encontrar.
\end{enumerate}
\textbf{Sugestão}: Inspecione as bibliotecas fornecidas à procura de funções
auxiliares que possa re-utilizar para a sua solução ficar mais simples.
Não se esqueça que, para o mesmo resultado,
nesta disciplina \emph{``ganha'' quem escrever menos código}!
\textbf{Sugestão}: Para efeitos de testes intermédios não use a totalidade de |acm_ccs|,
que tem 2114 linhas! Use, por exemplo, |take 10 acm_ccs|, como se mostrou acima.
\Problema
O \sierpCarpet{tapete de Sierpinski} é uma figura geométrica \fractal\ em que um quadrado é subdividido recursivamente em sub-quadrados. A construção clássica do tapete de Sierpinski é a seguinte: assumindo um quadrado de lado |l|, este é subdivido em 9 quadrados iguais de lado |l / 3|, removendo-se o quadrado central. Este passo é depois repetido sucessivamente para cada um dos 8 sub-quadrados restantes (Fig.~\ref{fig:sierp1}).
\caption{Construção do tapete de Sierpinski com profundidade 5.}
\label{fig:sierp1}
\end{figure}
\noindent
|NB|: No exemplo da fig.~\ref{fig:sierp1}, assumindo a construção clássica já referida, os quadrados estão a branco e o fundo a verde.
A complexidade deste algoritmo, em função do número de quadrados a desenhar, para uma profundidade $n$, é de $8^n$ (exponencial). No entanto, se assumirmos que os quadrados a desenhar são os que estão a verde, a complexidade é reduzida para $\sum_{i=0}^{n-1}8^i$, obtendo um ganho de $\sum_{i=1}^{n} \frac{100}{8^i} \%$. Por exemplo, para $n=5$, o ganho é de $14.28 \%$. O objetivo deste problema é a implementação do algoritmo mediante a referida otimização.
\caption{Tapete de Sierpinski com profundidade 2 e com os quadrados enumerados.}
\label{fig:sierp2}
\end{figure}
Assim, seja cada quadrado descrito geometricamente pelas coordenadas do seu vértice inferior esquerdo e o comprimento do seu lado:
\begin{code}
type Square = (Point, Side)
type Side = Double
type Point = (Double, Double)
\end{code}
A estrutura recursiva de suporte à construção de tapetes de Sierpinski será uma \Rose, na qual cada nível da árvore irá guardar os quadrados de tamanho igual. Por exemplo, a construção da fig.~\ref{fig:sierp2} poderá\footnote{A ordem dos filhos não é relevante.} corresponder à árvore da figura \ref{fig:roseTreeSierp}.
\begin{figure}[ht!]
\centering
\begin{tikzpicture}
[level distance = 2cm,
level 1/.style = {sibling distance = 1.5cm},
level 2/.style = {sibling distance = 0.9cm},
]\node [draw, circle]{1}
child {node [draw, circle]{2}
child {node [draw, circle]{10}}
child {node [draw, circle]{11}}
child {node [draw, circle]{12}}
child {node [draw, circle]{13}}
child {node [draw, circle]{14}}
child {node [draw, circle]{15}}
child {node [draw, circle]{16}}
child {node [draw, circle]{17}}}
child {node [draw, circle]{3}}
child {node [draw, circle]{4}}
child {node [draw, circle]{5}}
child {node [draw, circle]{6}}
child {node [draw, circle]{7}}
child {node [draw, circle]{8}}
child {node [draw, circle]{9}};
\end{tikzpicture}
\caption{Possível árvore de suporte para a construção da fig.~\ref{fig:sierp2}.}
\label{fig:roseTreeSierp}
\end{figure}
Uma vez que o tapete é também um quadrado, o objetivo será, a partir das informações do tapete (coordenadas do vértice inferior esquerdo e comprimento do lado), desenhar o quadrado central, subdividir o tapete nos 8 sub-tapetes restantes, e voltar a desenhar, recursivamente, o quadrado nesses 8 sub-tapetes. Desta forma, cada tapete determina o seu quadrado e os seus 8 sub-tapetes. No exemplo em cima, o tapete que contém o quadrado 1 determina esse próprio quadrado e determina os sub-tapetes que contêm os quadrados 2 a 9.
Portanto, numa primeira fase, dadas as informações do tapete, é construida a árvore de suporte com todos os quadrados a desenhar, para uma determinada profundidade.
\begin{code}
squares :: (Square, Int) -> Rose Square
\end{code}
|NB|: No programa, a profundidade começa em $0$ e não em $1$.
Uma vez gerada a árvore com todos os quadrados a desenhar, é necessário extrair os quadrados para uma lista, a qual é processada pela função |drawSq|, disponibilizada no anexo \ref{sec:codigo}.
\begin{code}
rose2List :: Rose a -> [a]
\end{code}
Assim, a construção de tapetes de Sierpinski é dada por um hilomorfismo de \textit{Rose Trees}:
\begin{code}
sierpinski :: (Square, Int) -> [Square]
sierpinski = hyloRose gr2l gsq
\end{code}
\textbf{Trabalho a fazer:}
\begin{enumerate}
\item Definir os genes do hilomorfismo |sierpinski|.
\item Correr
\begin{code}
sierp4 = drawSq (sierpinski (((0,0),32),3))
constructSierp5 = do drawSq (sierpinski (((0,0),32),0))
await
drawSq (sierpinski (((0,0),32),1))
await
drawSq (sierpinski (((0,0),32),2))
await
drawSq (sierpinski (((0,0),32),3))
await
drawSq (sierpinski (((0,0),32),4))
await
\end{code}
\item Definir a função que apresenta a construção do tapete de Sierpinski como é apresentada em |construcaoSierp5|, mas para uma profundidade $n \in \mathbb{N}$ recebida como parâmetro.
\begin{code}
constructSierp :: Int -> IO [()]
constructSierp = present . carpets
\end{code}
\textbf{Dica}: a função |constructSierp| será um hilomorfismo de listas, cujo anamorfismo |carpets :: Int -> [[Square]]| constrói, recebendo como parâmetro a profundidade $n$, a lista com todos os tapetes de profundidade $1..n$, e o catamorfismo |present :: [[Square]] -> IO [()]| percorre a lista desenhando os tapetes e esperando 1 segundo de intervalo.
\end{enumerate}
\Problema
Este ano ocorrerá a vigésima segunda edição do Campeonato do Mundo de Futebol, organizado pela Federação Internacional de Futebol (FIFA), a decorrer no Qatar e com o jogo inaugural a 20 de Novembro.
Uma casa de apostas pretende calcular, com base numa aproximação dos \textit{rankings}\footnote{Os \textit{rankings} obtidos \href{https://www.fifa.com/fifa-world-ranking/men?dateId=id13687}{aqui} foram escalados e arredondados.} das seleções, a probabilidade de cada seleção vencer a competição.
Para isso, o diretor da casa de apostas contratou o Departamento de Informática da Universidade do Minho, que atribuiu o projeto à equipa formada pelos alunos e pelos docentes de Cálculo de Programas.
\begin{alert}
Para resolver este problema de forma simples, ele será abordado por duas fases:
\begin{enumerate}
\item versão académica sem probabilidades, em que se sabe à partida, num jogo, quem o vai vencer;
\item versão realista com probabilidades usando o mónade \textit{Dist} (distribuições probabilísticas) que vem descrito no anexo \ref{sec:probabilities}.
\end{enumerate}
A primeira versão, mais simples, deverá ajudar a construir a segunda.
\end{alert}
\subsection*{Descrição do problema}
Uma vez garantida a qualificação (já ocorrida), o campeonato consta de duas fases consecutivas no tempo:
\begin{enumerate}
\item fase de grupos;
\item fase eliminatória (ou ``mata-mata'', como é habitual dizer-se no Brasil).
\end{enumerate}
Para a fase de grupos, é feito um sorteio das 32 seleções (o qual já ocorreu para esta competição)
que as coloca em 8 grupos, 4 seleções em cada grupo.
Assim, cada grupo é uma lista de seleções.
Os grupos para o campeonato deste ano são:
\begin{code}
type Team = String
type Group = [Team]
groups :: [Group]
groups = [["Qatar", "Ecuador", "Senegal", "Netherlands"],
Deste modo, \textit{groups !! 0} corresponde ao grupo A, \textit{groups !! 1} ao grupo B, e assim sucessivamente.
Nesta fase, cada seleção de cada grupo vai defrontar (uma vez) as outras do seu grupo.
Passam para o ``mata-mata'' as duas seleções que mais pontuarem em cada grupo, obtendo pontos, por cada jogo da fase grupos, da seguinte forma:
\begin{itemize}
\item vitória --- 3 pontos;
\item empate --- 1 ponto;
\item derrota --- 0 pontos.
\end{itemize}
Como se disse, a posição final no grupo irá determinar se uma seleção avança para o ``mata-mata'' e, se avançar, que possíveis jogos terá pela frente, uma vez que a disposição das seleções está desde o início definida para esta última fase, conforme se pode ver na figura \ref{fig:wcup22}.
Assim, é necessário calcular os vencedores dos grupos sob uma distribuição probabilística.
Uma vez calculadas as distribuições dos vencedores, é necessário colocá-las nas folhas de uma |LTree| de forma a fazer um \textit{match} com a figura \ref{fig:wcup22}, entrando assim na fase final da competição, o tão esperado ``mata-mata''.
Para avançar nesta fase final da competição (i.e.\ subir na árvore), é preciso ganhar, quem perder é automaticamente eliminado (``mata-mata''). Quando uma seleção vence um jogo, sobe na árvore, quando perde, fica pelo caminho. Isto significa que a seleção vencedora é aquela que vence todos os jogos do ``mata-mata''.
\subsection*{Arquitetura proposta}
A visão composicional da equipa permitiu-lhe perceber desde logo que o problema podia ser dividido, independentemente da versão, probabilística ou não, em duas partes independentes --- a da fase de grupos e a do ``mata-mata''. Assim, duas sub-equipas poderiam trabalhar em paralelo, desde que se garantisse a composicionalidade das partes.
Decidiu-se que os alunos desenvolveriam a parte da fase de grupos e os docentes a do ``mata-mata''.
\subsubsection*{Versão não probabilística}
O resultado final (não probabilístico) é dado pela seguinte função:
\begin{code}
winner :: Team
winner = wcup groups
wcup = knockoutStage . groupStage
\end{code}
A sub-equipa dos docentes já entregou a sua parte:
\begin{code}
knockoutStage = cataLTree (either id koCriteria)
\end{code}
Considere-se agora a proposta do \textit{team leader} da sub-equipa dos alunos para o desenvolvimento da fase de grupos:
\begin{bquote}
{\slshape
Vamos dividir o processo em 3 partes:
\begin{itemize}
\item gerar os jogos,
\item simular os jogos,
\item preparar o ``mata-mata'' gerando a árvore de jogos dessa fase (fig. \ref{fig:wcup22}).
Comecemos então por definir a função |genGroupStageMatches| que gera os jogos da fase de grupos:
\begin{code}
genGroupStageMatches :: [Group] -> [[Match]]
genGroupStageMatches = map generateMatches
\end{code}
onde
\begin{code}
type Match = (Team, Team)
\end{code}
Ora, sabemos que nos foi dada a função
\begin{code}
gsCriteria :: Match -> Maybe Team
\end{code}
que, mediante um certo critério, calcula o resultado de um jogo, retornando |Nothing| em caso de empate, ou a equipa vencedora (sob o construtor |Just|). Assim, precisamos de definir a função
Aqui está apenas em falta a definição da função |matchResult|.
Por fim, teremos a função |initKnockoutStage| que produzirá a |LTree| que a sub-equipa do ``mata-mata'' precisa, com as devidas posições. Esta será a composição de duas funções:
\begin{code}
initKnockoutStage = anaLTree glt . arrangement
\end{code}
}
\end{bquote}
Trabalho a fazer:
\begin{enumerate}
\item Definir uma alternativa à função genérica |consolidate| que seja um
catamorfismo de listas:
\begin{code}
consolidate' :: (Eq a, Num b) => [(a, b)] -> [(a, b)]
consolidate' = cataList cgene
\end{code}
\item Definir a função |matchResult :: (Match -> Maybe Team) -> Match ->
[(Team, Int)]| que apura os pontos das equipas de um dado jogo.
\item Definir a função genérica |pairup :: Eq b => [b] -> [(b, b)]| em que
|generateMatches| se baseia.
\item Definir o gene |glt|.
\end{enumerate}
\subsubsection*{Versão probabilística}
Nesta versão, mais realista, |gsCriteria :: Match -> (Maybe Team)| dá lugar a
\begin{code}
pgsCriteria :: Match -> Dist (Maybe Team)
\end{code}
que dá, para cada jogo, a probabilidade de cada equipa vencer ou haver um empate.
Por exemplo, há |50%| de probabilidades de Portugal empatar com a Inglaterra,
\begin{quote}
\begin{verbatim}
pgsCriteria("Portugal","England")
Nothing 50.0%
Just "England" 26.7%
Just "Portugal" 23.3%
\end{verbatim}
\end{quote}
etc.
O que é |Dist|? É o mónade que trata de distribuições probabilísticas e que é descrito no
anexo \ref{sec:probabilities}, página \pageref{sec:probabilities} e seguintes. O que há a fazer? Eis o que diz o vosso \emph{team leader}:
\begin{bquote}
\slshape
O que há a fazer nesta versão é, antes de mais, avaliar qual é o impacto
de |gsCriteria| virar monádica (em |Dist|) na arquitetura geral da versão
anterior. Há que reduzir esse impacto ao mínimo, escrevendo-se tão pouco código
quanto possível!
\end{bquote}
Todos relembraram algo que tinham aprendido nas aulas teóricas a respeito
da ``monadificação'' do código: há que reutilizar o código da versão anterior,
monadificando-o.
Para distinguir as duas versões decidiu-se afixar o prefixo `p' para identificar
uma função que passou a ser monádica.
A sub-equipa dos docentes fez entretanto a monadificação da sua parte:
\begin{spec}
pwinner :: Dist Team
pwinner = pwcup groups
pwcup = pknockoutStage .! pgroupStage
\end{spec}
E entregou ainda a versão probabilística do ``mata-mata'':
de $f\ x = a x^2 + b x + c$ derivam-se duas funções mutuamente recursivas:
\begin{spec}
f 0 = c
f (n+1) = f n + k n
k 0 = a + b
k(n+1) = k n + 2 a
\end{spec}
Seguindo a regra acima, calcula-se de imediato a seguinte implementação, em Haskell:
\begin{code}
f' a b c = p1 . for loop init where
loop(f,k) = (f+k,k+2*a)
init = (c,a+b)
\end{code}
\section{O mónade das distribuições probabilísticas} \label{sec:probabilities}
%format B = "\mathit B"
%format C = "\mathit C"
Mónades são functores com propriedades adicionais que nos permitem obter
efeitos especiais em progra\-mação. Por exemplo, a biblioteca \Probability\
oferece um mónade para abordar problemas de probabilidades. Nesta biblioteca,
o conceito de distribuição estatística é captado pelo tipo
\begin{eqnarray}
|newtype Dist a = D {unD :: [(a, ProbRep)]}|
\label{eq:Dist}
\end{eqnarray}
em que |ProbRep| é um real de |0| a |1|, equivalente a uma escala de $0$ a
$100 \%$.
Cada par |(a,p)| numa distribuição |d::Dist a| indica que a probabilidade
de |a| é |p|, devendo ser garantida a propriedade de que todas as probabilidades
de |d| somam $100\%$.
Por exemplo, a seguinte distribuição de classificações por escalões de $A$ a $E$,
\[
\begin{array}{ll}
A & \rule{2mm}{3pt}\ 2\%\\
B & \rule{12mm}{3pt}\ 12\%\\
C & \rule{29mm}{3pt}\ 29\%\\
D & \rule{35mm}{3pt}\ 35\%\\
E & \rule{22mm}{3pt}\ 22\%\\
\end{array}
\]
será representada pela distribuição
\begin{code}
d1 :: Dist Char
d1 = D [('A',0.02),('B',0.12),('C',0.29),('D',0.35),('E',0.22)]
\end{code}
que o \GHCi\ mostrará assim:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
'D' 35.0%
'C' 29.0%
'E' 22.0%
'B' 12.0%
'A' 2.0%
\end{Verbatim}
É possível definir geradores de distribuições, por exemplo distribuições \emph{uniformes},
\begin{code}
d2 = uniform (words "Uma frase de cinco palavras")
\end{code}
isto é
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
"Uma" 20.0%
"cinco" 20.0%
"de" 20.0%
"frase" 20.0%
"palavras" 20.0%
\end{Verbatim}
distribuição \emph{normais}, eg.\
\begin{code}
d3 = normal [10..20]
\end{code}
etc.\footnote{Para mais detalhes ver o código fonte de \Probability, que é uma adaptação da
biblioteca \PFP\ (``Probabilistic Functional Programming''). Para quem quiser saber mais
recomenda-se a leitura do artigo \cite{EK06}.}
|Dist| forma um \textbf{mónade} cuja unidade é |return a = D [(a,1)]| e cuja composição de Kleisli
é (simplificando a notação)
\begin{spec}
((kcomp f g)) a = [(y,q*p) | (x,p) <- g a, (y,q) <- f x]
\end{spec}
em que |g: A -> Dist B| e |f: B -> Dist C| são funções \textbf{monádicas} que representam
\emph{computações probabilísticas}.
Este mónade é adequado à resolução de problemas de \emph{probabilidades e estatística} usando programação funcional, de forma elegante e como caso particular da programação monádica.
\section{Código fornecido}\label{sec:codigo}
\subsection*{Problema 1}
Alguns testes para se validar a solução encontrada:
\begin{code}
test a b c = map (fbl a b c) x == map (f a b c) x where x = [1..20]
test1 = test 1 2 3
test2 = test (-2) 1 5
\end{code}
\subsection*{Problema 2}
\textbf{Verificação}: a árvore de tipo \Exp\ gerada por
\begin{code}
acm_tree = tax acm_ccs
\end{code}
deverá verificar as propriedades seguintes:
\begin{itemize}
\item |expDepth acm_tree == 7| (profundidade da árvore);
\item |length (expOps acm_tree) == 432| (número de nós da árvore);
\item |length (expLeaves acm_tree) == 1682| (número de folhas da árvore).\footnote{Quer dizer, o número total de nodos e folhas é |2114|, o número de linhas do texto dado.}
\end{itemize}
O resultado final
\begin{code}
acm_xls = post acm_tree
\end{code}
não deverá ter tamanho inferior ao total de nodos e folhas da árvore.
